Números complejos

Definición de número complejo

Un número complejo, es una entidad matemática que viene dada por un par de números reales, el primero x se denomina la parte real y al segundo y la parte imaginaria. Los números complejos se representa por un par de números entre paréntesis (x, y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de x+yi, i se denomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno.

Los números imaginarios están basados en la solución de la ecuación x² = -1.  Como ningún número real es la solución de esta ecuación,  se define a un número imaginario i  para ser la solución de esta ecuación.

Definiciones

Un número imaginario i se define como:

El conjunto de los números complejos es el conjunto de todos los números de la forma a + bi, donde a  y  b son números reales.

Ejemplos:    2 + 3i   y    5 - 2i

En el número complejo a + bi,  a se llama parte real  y b se llama la parte imaginaria.  A la forma a + bi, se le llama la forma general del número complejo.  Pero  para facilitar la notación usamos algunas variaciones  de esa forma general.  Si a = 0 entonces se omite la parte real y sólo se escribe la parte imaginaria.  Si b = 0  entonces sólo se escribe la parte real  y el número a es un número real.  Si b contiene un radical entonces se escribe i antes de b para evitar confusión, es decir, que i esté dentro del radical.

Ejemplos:

Operaciones con los números complejos

Para sumar números complejos sumamos las partes reales y las partes imaginarias.  La sustracción se hace similarmente.  En la multiplicación aplicamos la propiedad distributiva.

Ejemplos para discusión en clase:

1)  (4 + 5i) + (1 - 7i) =

2)  (9 - 2i) - (6 + 5i) =

3)  2(5 + 3i) =

4)  3i(1 + 4i) =

5)  (3 - 2i)(1 + 5i) =

Definición: Los números complejos a + bi  y  a - bi  se llaman conjugados complejos uno del otro.  Por ejemplo:  el conjugado de 5 + 3i  es  5 - 3i.  El conjugado de 3 - 2i  es 3 + 2i.

Teorema:  Si a y b son números reales, entonces el producto de a + bi y su conjugado a - bi, es el número real a² + b².  Esto es: (a +bi)(a - bi) = a² + b².

Usamos el teorema sobre conjugados complejos para dividir números imaginarios.

Ejemplos para discusión en clase:

Ejercicio de práctica:  Efectúa las siguientes operaciones con números imaginarios.