sábado, 21 de mayo de 2011

Ecuaciones de primer grado

Cómo resolver ecuaciones sencillas de primer grado

Se denomina “ecuación” a toda igualdad que tiene incógnitas. Una incógnita es un valor desconocido expresado mediante una letra (generalmente la letra “x”)
Toda ecuación consta de dos miembros  1° miembro = 2° miembro

Por ejemplo:

1)       2 + x = 5   Esta es muy fácil, pues tenemos un “número desconocido” sumado a 2 y nos da 5. Es inmediato que esa “x” vale 3
.
2)       3x + 1 = 7 En esta vemos que a la “x” se la multiplica por 3 y se le suma uno dando un resultado igual a 7.
En ambas ecuaciones puede utilizarse un método muy usual que se llama “despejar la x” realizando un “pasaje de términos”, que consiste en pasar términos de un miembro a otro de modo tal que siempre un término que está realizando una determinada operación en un miembro pasa al otro haciendo la operación contraria

Es decir: si está sumando pasa restando
                Si está multiplicando pasa dividiendo
                Si está como exponente pasa como índice de una raíz.

Veamos cómo resolver las ecuaciones planteadas:

1) 2 +x = 5     Aquí pasamos el 2 que está sumando al otro miembro y nos queda x = 5 - 2 Vemos que la x nos queda despejada en el primer miembro. Entonces solo queda por efectuar la resta entre 5 y 2 quedando      x = 3
Si reemplazamos a la x en la ecuación original y efectuamos la suma del primer miembro vemos que queda verificada la igualdad.

2) 3x + 1 = 7 Aquí primero pasamos el 1 restando 3x = 7 – 1 y nos queda 3x = 6 Como entre el 3 y la x no hay ningún signo de operación significa que el 3 multiplica a la x entonces el 3 debe pasar al otro miembro dividiendo x = 6 : 3 quedando x = 2
Si reemplazamos a la x en la ecuación original y efectuamos las operaciones correspondientes vemos que nuevamente queda verificada la igualdad: 3.2 +1 = 7

3)      2x – 4 + x = 5x – 10
4)      3x + 10 = 6 – x

Cuando aparecen términos con “x” en ambos miembros hay que proceder a agruparlos en uno de los dos miembros. No importa cual elijamos siempre y cuando respetemos la regla de oro del pasaje de términos.

 3) 2x – 4 + x = 5x – 10  Aquí agrupamos los términos que tienen “x” en el primer miembro y los que no tienen en el segundo.  2x + x - 5x = – 10 + 4.  En el primer miembro sumo algebraicamente 2x + 1x – 5x y da – 2x En el segundo miembro hago – 10 + 4 y obtengo – 6
Entonces me queda – 2x = - 6  El – 2 está multiplicando a la “x” entonces queda así x = - 6 : (- 2)  y aplicando la regla de signos y dividiendo queda x = 3
Si reemplazamos a la “x” en la ecuación original: 2.3 – 4 + 3 = 5.3 – 10 y efectuamos las operaciones en ambos miembro nos queda 5 = 5
   
4) 3x + 10 = 6 – x En esta ecuación hacemos lo mismo que en la anterior: 3x + x = 6 – 10 y nos queda  4x = - 4
Pasamos el  4 dividiendo x = - 4 : 4 y nos queda  x = - 1
Reemplazando 3.(-1) + 10 = 6 – (-1) nos queda 7 = 7

Como regla general entonces siempre es bueno que después de obtener el valor de “x” reemplazar en la ecuación original y verificar si se cumple la igualdad.

5)      2.(x + 1) – 2 = -2.(x – 1) + 6  En esta antes de hacer los pasajes de términos correspondientes, primero hay que aplicar la propiedad distributiva
En el término 2.(x + 1) hay que multiplicar el 2 por la x y por el 1: haciendo 2.x = 2x y 2.1= 2
En el término -2.(x – 1), hay que hacer lo mismo: -2.x = -2x y -2.(-1) = 2
Entonces nos queda:
                                     2x + 2 – 2 = -2x +2 + 6 y luego se procede como en las anteriores

Fijarse que en el primer término se puede aplicar la propiedad cancelativa

2x + 22 = -2x +2 + 6  y nos queda 2x = -2x + 2+ 6  entonces 2x + 2x = 8  y 4x = 8 finalmente x = 2

Recordar que para aplicar la propiedad distributiva el factor que está fuera del paréntesis puede estar adelante o detrás de los mismos: 2.(x+1) o (x+1).2. Se resuelve del mismo modo pues la multiplicación es conmutativa



Otras formas de complejos


(1 + 3/2 i) + (2 + i) = 5 + 5/2 i




se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir, si , entonces el módulo de  es .
El conjugado de un número complejo se define como su simétrico respecto del eje real, es decir, si , entonces el conjugado de  es .
El opuesto de un número complejo es su simétrico respecto del origen.

Forma polar o módulo-argumento
Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,
donde es el módulo de , y donde q es un argumento de , esto es, q es un ángulo tal que
.

Dos números complejos , representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son iguales , y sus argumentos se diferencian en un número entero de vueltas, es decir, , con .
La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, es decir, si , y , entonces

Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin más que dividir los módulos y restar los argumentos:
,
siempre que .

Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler:
para .
Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:
Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes enteros se tiene .
Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la forma .

Estudiemos ahora las potencias con exponente racional de un número complejo. Dado , sea , para un número natural p.
Si , puesto que , es decir, . Por tanto, , y además, , o sea, , para .
De todos estos valores sólo p consecutivos son distintos, el resto resulta ser repetición sucesiva de valores ya obtenidos. Por tanto, un número complejo tiene siempre p raíces p-ésimas distintas
, para .
Se puede observar que las p raíces pésimas tienen todas el mismo módulo, y sus argumentos se diferencian en  cada uno del siguiente, esto es, las raíces p-ésimas se encuentran en los vértices de un polígono regular de p lados incrito en la circunferencia de centro 0 y radio .
Como ejemplo, en la siguiente gráfica podemos ver las raíces quintas de  

raices.gif (8036 bytes)







viernes, 20 de mayo de 2011

Multiplicación y división de complejos

Suma y resta de complejos

Números complejos


Definición de número complejo

Un número complejo, es una entidad matemática que viene dada por un par de números reales, el primero x se denomina la parte real y al segundo y la parte imaginaria. Los números complejos se representa por un par de números entre paréntesis (x, y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de x+yi, i se denomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno.
Los números imaginarios están basados en la solución de la ecuación x2 = -1.  Como ningún número real es la solución de esta ecuación,  se define a un número imaginario i  para ser la solución de esta ecuación.


Definiciones

Un número imaginario i se define como:

El conjunto de los números complejos es el conjunto de todos los números de la forma a + bi, donde a  y  b son números reales.

Ejemplos:    2 + 3i   y    5 - 2i

En el número complejo a + bia se llama parte real  y b se llama la parte imaginaria.  A la forma a + bi, se le llama la forma general del número complejoPero  para facilitar la notación usamos algunas variaciones  de esa forma general.  Si a = 0 entonces se omite la parte real y sólo se escribe la parte imaginariaSi b = entonces sólo se escribe la parte real  y el número a es un número real.  Si b contiene un radical entonces se escribe i antes de b para evitar confusión, es decir, que i esté dentro del radical.

Ejemplos:



Operaciones con los números complejos

Para sumar números complejos sumamos las partes reales y las partes imaginarias.  La sustracción se hace similarmenteEn la multiplicación aplicamos la propiedad distributiva.

Ejemplos para discusión en clase:

1)  (4 + 5i) + (1 - 7i) =
2)  (9 - 2i) - (6 + 5i) =
3)  2(5 + 3i) =
4)  3i(1 + 4i) =
5)  (3 - 2i)(1 + 5i) =


Definición: Los números complejos a + bi  y  a - bi  se llaman conjugados complejos uno del otroPor ejemplo:  el conjugado de 5 + 3i  es  5 - 3i.  El conjugado de 3 - 2i  es 3 + 2i.

Teorema:  Si a y b son números reales, entonces el producto de a + bi y su conjugado a - bi, es el número real a2 + b2Esto es: (a +bi)(a - bi) = a2 + b2.

Usamos el teorema sobre conjugados complejos para dividir números imaginarios.

Ejemplos para discusión en clase:






Ejercicio de prácticaEfectúa las siguientes operaciones con números imaginarios.