Gráfica de función de segundo grado: http://www.matesymas.es/images/stories/videos/ec_seg_grado_p.swf
Matemática Virtual
sábado, 27 de agosto de 2011
sábado, 21 de mayo de 2011
Ecuaciones de primer grado
Cómo resolver ecuaciones sencillas de primer grado
Se denomina “ecuación” a toda igualdad que tiene incógnitas. Una incógnita es un valor desconocido expresado mediante una letra (generalmente la letra “x”)
Toda ecuación consta de dos miembros 1° miembro = 2° miembro
Por ejemplo:
1) 2 + x = 5 Esta es muy fácil, pues tenemos un “número desconocido” sumado a 2 y nos da 5. Es inmediato que esa “x” vale 3
.
2) 3x + 1 = 7 En esta vemos que a la “x” se la multiplica por 3 y se le suma uno dando un resultado igual a 7.
En ambas ecuaciones puede utilizarse un método muy usual que se llama “despejar la x” realizando un “pasaje de términos”, que consiste en pasar términos de un miembro a otro de modo tal que siempre un término que está realizando una determinada operación en un miembro pasa al otro haciendo la operación contraria
Es decir: si está sumando pasa restando
Si está multiplicando pasa dividiendo
Si está como exponente pasa como índice de una raíz.
Veamos cómo resolver las ecuaciones planteadas:
1) 2 +x = 5 Aquí pasamos el 2 que está sumando al otro miembro y nos queda x = 5 - 2 Vemos que la x nos queda despejada en el primer miembro. Entonces solo queda por efectuar la resta entre 5 y 2 quedando x = 3
Si reemplazamos a la x en la ecuación original y efectuamos la suma del primer miembro vemos que queda verificada la igualdad.
2) 3x + 1 = 7 Aquí primero pasamos el 1 restando 3x = 7 – 1 y nos queda 3x = 6 Como entre el 3 y la x no hay ningún signo de operación significa que el 3 multiplica a la x entonces el 3 debe pasar al otro miembro dividiendo x = 6 : 3 quedando x = 2
Si reemplazamos a la x en la ecuación original y efectuamos las operaciones correspondientes vemos que nuevamente queda verificada la igualdad: 3.2 +1 = 7
3) 2x – 4 + x = 5x – 10
4) 3x + 10 = 6 – x
Cuando aparecen términos con “x” en ambos miembros hay que proceder a agruparlos en uno de los dos miembros. No importa cual elijamos siempre y cuando respetemos la regla de oro del pasaje de términos.
3) 2x – 4 + x = 5x – 10 Aquí agrupamos los términos que tienen “x” en el primer miembro y los que no tienen en el segundo. 2x + x - 5x = – 10 + 4. En el primer miembro sumo algebraicamente 2x + 1x – 5x y da – 2x En el segundo miembro hago – 10 + 4 y obtengo – 6
Entonces me queda – 2x = - 6 El – 2 está multiplicando a la “x” entonces queda así x = - 6 : (- 2) y aplicando la regla de signos y dividiendo queda x = 3
Si reemplazamos a la “x” en la ecuación original: 2.3 – 4 + 3 = 5.3 – 10 y efectuamos las operaciones en ambos miembro nos queda 5 = 5
4) 3x + 10 = 6 – x En esta ecuación hacemos lo mismo que en la anterior: 3x + x = 6 – 10 y nos queda 4x = - 4
Pasamos el 4 dividiendo x = - 4 : 4 y nos queda x = - 1
Reemplazando 3.(-1) + 10 = 6 – (-1) nos queda 7 = 7
Como regla general entonces siempre es bueno que después de obtener el valor de “x” reemplazar en la ecuación original y verificar si se cumple la igualdad.
5) 2.(x + 1) – 2 = -2.(x – 1) + 6 En esta antes de hacer los pasajes de términos correspondientes, primero hay que aplicar la propiedad distributiva
En el término 2.(x + 1) hay que multiplicar el 2 por la x y por el 1: haciendo 2.x = 2x y 2.1= 2
En el término -2.(x – 1), hay que hacer lo mismo: -2.x = -2x y -2.(-1) = 2
Entonces nos queda:
2x + 2 – 2 = -2x +2 + 6 y luego se procede como en las anteriores
Fijarse que en el primer término se puede aplicar la propiedad cancelativa
2x + 2 – 2 = -2x +2 + 6 y nos queda 2x = -2x + 2+ 6 entonces 2x + 2x = 8 y 4x = 8 finalmente x = 2
Recordar que para aplicar la propiedad distributiva el factor que está fuera del paréntesis puede estar adelante o detrás de los mismos: 2.(x+1) o (x+1).2. Se resuelve del mismo modo pues la multiplicación es conmutativa
Otras formas de complejos
(1 + 3/2 i) + (2 + i) = 5 + 5/2 i
se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir, si , entonces el módulo de es .
El conjugado de un número complejo se define como su simétrico respecto del eje real, es decir, si , entonces el conjugado de es .
El opuesto de un número complejo es su simétrico respecto del origen.
Forma polar o módulo-argumento
Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,
, .
Dos números complejos y , representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son iguales , y sus argumentos se diferencian en un número entero de vueltas, es decir, , con .
La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, es decir, si , y , entonces
Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin más que dividir los módulos y restar los argumentos:
,
siempre que .
Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler:
para .
Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:
Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes enteros se tiene .
Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la forma .
Estudiemos ahora las potencias con exponente racional de un número complejo. Dado , sea , para un número natural p.
Si , puesto que , es decir, . Por tanto, , y además, , o sea, , para .
De todos estos valores sólo p consecutivos son distintos, el resto resulta ser repetición sucesiva de valores ya obtenidos. Por tanto, un número complejo tiene siempre p raíces p-ésimas distintas
, para .
Se puede observar que las p raíces pésimas tienen todas el mismo módulo, y sus argumentos se diferencian en cada uno del siguiente, esto es, las raíces p-ésimas se encuentran en los vértices de un polígono regular de p lados incrito en la circunferencia de centro 0 y radio .
Como ejemplo, en la siguiente gráfica podemos ver las raíces quintas de
viernes, 20 de mayo de 2011
Números complejos
Definición de número complejo
Un número complejo, es una entidad matemática que viene dada por un par de números reales, el primero x se denomina la parte real y al segundo y la parte imaginaria. Los números complejos se representa por un par de números entre paréntesis (x, y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de x+yi, i se denomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno.Los números imaginarios están basados en la solución de la ecuación x2 = -1. Como ningún número real es la solución de esta ecuación, se define a un número imaginario i para ser la solución de esta ecuación.
Definiciones
Un número imaginario i se define como:
El conjunto de los números complejos es el conjunto de todos los números de la forma a + bi, donde a y b son números reales.
Ejemplos: 2 + 3i y 5 - 2i
En el número complejo a + bi, a se llama parte real y b se llama la parte imaginaria. A la forma a + bi, se le llama la forma general del número complejo. Pero para facilitar la notación usamos algunas variaciones de esa forma general. Si a = 0 entonces se omite la parte real y sólo se escribe la parte imaginaria. Si b = 0 entonces sólo se escribe la parte real y el número a es un número real. Si b contiene un radical entonces se escribe i antes de b para evitar confusión, es decir, que i esté dentro del radical.
Ejemplos:
Operaciones con los números complejos
Para sumar números complejos sumamos las partes reales y las partes imaginarias. La sustracción se hace similarmente. En la multiplicación aplicamos la propiedad distributiva.
Ejemplos para discusión en clase:
1) (4 + 5i) + (1 - 7i) =
2) (9 - 2i) - (6 + 5i) =
3) 2(5 + 3i) =
4) 3i(1 + 4i) =
5) (3 - 2i)(1 + 5i) =
Definición: Los números complejos a + bi y a - bi se llaman conjugados complejos uno del otro. Por ejemplo: el conjugado de 5 + 3i es 5 - 3i. El conjugado de 3 - 2i es 3 + 2i.
Teorema: Si a y b son números reales, entonces el producto de a + bi y su conjugado a - bi, es el número real a2 + b2. Esto es: (a +bi)(a - bi) = a2 + b2.
Usamos el teorema sobre conjugados complejos para dividir números imaginarios.
Ejemplos para discusión en clase:
Ejercicio de práctica: Efectúa las siguientes operaciones con números imaginarios.
Suscribirse a:
Entradas (Atom)