Ecuaciones de primer grado

Cómo resolver ecuaciones sencillas de primer grado

Se denomina “ecuación” a toda igualdad que tiene incógnitas. Una incógnita es un valor desconocido expresado mediante una letra (generalmente la letra “x”)

Toda ecuación consta de dos miembros  1° miembro = 2° miembro

Por ejemplo:

1)       2 + x = 5   Esta es muy fácil, pues tenemos un “número desconocido” sumado a 2 y nos da 5. Es inmediato que esa “x” vale 3

.

2)       3x + 1 = 7 En esta vemos que a la “x” se la multiplica por 3 y se le suma uno dando un resultado igual a 7.

En ambas ecuaciones puede utilizarse un método muy usual que se llama “despejar la x” realizando un “pasaje de términos”, que consiste en pasar términos de un miembro a otro de modo tal que siempre un término que está realizando una determinada operación en un miembro pasa al otro haciendo la operación contraria

Es decir: si está sumando pasa restando

                Si está multiplicando pasa dividiendo

                Si está como exponente pasa como índice de una raíz.

Veamos cómo resolver las ecuaciones planteadas:

1) 2 +x = 5     Aquí pasamos el 2 que está sumando al otro miembro y nos queda x = 5 - 2 Vemos que la x nos queda despejada en el primer miembro. Entonces solo queda por efectuar la resta entre 5 y 2 quedando      x = 3

Si reemplazamos a la x en la ecuación original y efectuamos la suma del primer miembro vemos que queda verificada la igualdad.

2) 3x + 1 = 7 Aquí primero pasamos el 1 restando 3x = 7 – 1 y nos queda 3x = 6 Como entre el 3 y la x no hay ningún signo de operación significa que el 3 multiplica a la x entonces el 3 debe pasar al otro miembro dividiendo x = 6 : 3 quedando x = 2

Si reemplazamos a la x en la ecuación original y efectuamos las operaciones correspondientes vemos que nuevamente queda verificada la igualdad: 3.2 +1 = 7

3)      2x – 4 + x = 5x – 10

4)      3x + 10 = 6 – x

Cuando aparecen términos con “x” en ambos miembros hay que proceder a agruparlos en uno de los dos miembros. No importa cual elijamos siempre y cuando respetemos la regla de oro del pasaje de términos.

 3) 2x – 4 + x = 5x – 10  Aquí agrupamos los términos que tienen “x” en el primer miembro y los que no tienen en el segundo.  2x + x - 5x = – 10 + 4.  En el primer miembro sumo algebraicamente 2x + 1x – 5x y da – 2x En el segundo miembro hago – 10 + 4 y obtengo – 6

Entonces me queda – 2x = - 6  El – 2 está multiplicando a la “x” entonces queda así x = - 6 : (- 2)  y aplicando la regla de signos y dividiendo queda x = 3

Si reemplazamos a la “x” en la ecuación original: 2.3 – 4 + 3 = 5.3 – 10 y efectuamos las operaciones en ambos miembro nos queda 5 = 5

   

4) 3x + 10 = 6 – x En esta ecuación hacemos lo mismo que en la anterior: 3x + x = 6 – 10 y nos queda  4x = - 4

Pasamos el  4 dividiendo x = - 4 : 4 y nos queda  x = - 1

Reemplazando 3.(-1) + 10 = 6 – (-1) nos queda 7 = 7

Como regla general entonces siempre es bueno que después de obtener el valor de “x” reemplazar en la ecuación original y verificar si se cumple la igualdad.

5)      2.(x + 1) – 2 = -2.(x – 1) + 6  En esta antes de hacer los pasajes de términos correspondientes, primero hay que aplicar la propiedad distributiva

En el término 2.(x + 1) hay que multiplicar el 2 por la x y por el 1: haciendo 2.x = 2x y 2.1= 2

En el término -2.(x – 1), hay que hacer lo mismo: -2.x = -2x y -2.(-1) = 2

Entonces nos queda:

                                     2x + 2 – 2 = -2x +2 + 6 y luego se procede como en las anteriores

Fijarse que en el primer término se puede aplicar la propiedad cancelativa

2x + 2 – 2 = -2x +2 + 6  y nos queda 2x = -2x + 2+ 6  entonces 2x + 2x = 8  y 4x = 8 finalmente x = 2

Recordar que para aplicar la propiedad distributiva el factor que está fuera del paréntesis puede estar adelante o detrás de los mismos: 2.(x+1) o (x+1).2. Se resuelve del mismo modo pues la multiplicación es conmutativa