Operaciones con polis...

POLINOMIOS

Son el resultado de sumar monomios no semejantes. Cada monomio, cada sumando, es un  término del polinomio.

Grado de un polinomio: Es el grado del término de mayor grado.

P_(x) = 2x⁴ + 3x³ – x² + 2x -1    (polinomio de grado 4)

Coeficiente principal    grado    término independiente

Suma de polinómios: Para sumar dos polinomios se escriben uno a continuación de otro, intercalando entre ambos el signo de la adición, y se reducen términos semejantes.

Resta de polinomios: La sustracción de dos polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

Suma y resta de polinomios
Para sumar y/o restar polinomios se ordenan los mismos en forma decreciente y se colocan uno debajo de otro en columnas cuyos monomio sean de igual grado
P_(x) = 2x⁴ + 3x³ – x² + 2x -1        Q_(x) = 2x² +3x⁴ -2x³ –x +2
         Suma                                                                Resta

2x⁴ + 3x³ –  x² + 2x - 1                                                  2x⁴ + 3x³ –  x² + 2x - 1

3x⁴ – 2x³ + 2x² -   x+ 2                                                - 3x⁴ + 2x³ - 2x² +   x - 2

__________________                                              __________________

5x⁴ +   x³ +   x² +  x + 1                                               -   x⁴ + 5x³ – 3x² + 3x - 3

Producto de polinomios
Para multiplicar dos polinomios se deben multiplicar todos los monomios de unos por todos los del otro y sumar los resultados. ("Atención especial al producto de potencias de la misma base")
Si uno de los dos polinomios es un monomio, la operación es simple como se puede ver en la escena siguiente, en la que se pueden variar los coeficientes.

En el caso en que ambos polinomios consten de varios términos, se puede indicar la multiplicación de forma semejante a como se hace con número de varias cifras, cuidando de situar debajo de cada monomio los que sean semejantes.

P_(x) = 2x⁴ + 3x³ – x² + 2x -1
R_(x) = P_(x) = 2x⁴ + 3x³ – x² + 2x -1
R_(x) = 2x² – x +1
 Efectuar P_(x)  x  R_(x)                         2x⁴ + 3x³ – x² + 2x -1
                                                                         2x² – x +1      
                                                   ___________________________  
                                                     4x⁶ + 6x⁵ - 2x⁴ + 4x³ – 2x²
                                                            - 2x⁵ – 3x⁴ + x³ – 2x² + x
                                                                       2x⁴ + 3x³ – x² + 2x -1
                                                 __________________________________
                                                     4x⁶ + 4x⁵ – 3x⁴ +8x³ -5x² + 3x – 1




División de polinomios
La división de polinomios, en general se realiza de forma semejante a la de números de varias cifras, aunque las operaciones que realizamos rápidamente con los números, con los polinomios las vamos indicando. El proceso es el siguiente:
Con los polinomios dividendo y divisor ordenador de mayor a menor grado:
- Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al primer término del cociente
- Se multiplica dicho término por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los signos contrarios, cuidando que debajo de cada término se coloque otro semejante
- Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de grado menor al inicial
- Se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado.
Normalmente se dividen polinomios con una sola variable (x) tanto en el dividendo como en el divisor. 


P_(x) = 2x⁴ + 3x³ – 2x² + 3x -1
R_(x) = 2x² – x +1
Efectuar P_(x)  : R_(x)

                                                2x⁴ + 3x³ – 2x² + 3x - 1     |2x² – x +1

                                   -2x⁴ +  x³ –   x²                    X² + 2x – ½

                                             _____________

                                             4x³ - 3x² +  3x

                                            -4x³ +2x²  -  2x

                                                           ___________________

                                                   -  x² +     x   -  1

                                                     X² –  ½ x +  ½

                                                                   ___________________

                                                               ½ x  -   ½

Como se ve se ha obtenido de cociente 

X² + 2x – ½

 y de resto 

 ½ x  -   ½